ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Мы рассматривали прямоугольный треугольник на рис. 2.9 при описании функции синус для переменного сигнала. Используем аналогичный прием для описания такого же сигнала с помощью векторного представления (рис. 2.12).

Если длина гипотенузы — это максимальное значение напряжения (амплитуда), то величина вертикальной стороны треугольника b будет равна V_P sin ?. Изобразим гипотенузу и катет b в виде векторов V_P и v. Предположим, гипотенуза непрерывно вращается (см. рис. 2.12). Каждой точке окружности будет соответствовать свой вертикальный вектор v, а один полный оборот гипотенузы будет соответствовать одному циклу синусоиды. Скорость вращения ? = 2 ? f рад/сек. Величина вектора v (мгновенное значение) зависит от угла поворота по функции синус. Строго говоря, это не вектор в математическом понимании, так как вектор обладает двумя характеристиками — величиной и направлением. В данном рассмотрении нас интересует только его величина.

Векторное представление можно использовать для исследования не только одного напряжения или тока. Это мощное средство для описания взаимодействия между двумя или более синусоидальными токами или напряжениями с одинаковой частотой. Также этот метод значительно облегчает расчет их суммы или разницы.

Представьте, что вращающийся вектор рассматривается в свете стробоскопа, частота вспышек которого равна частоте вращения вектора. Он будет казаться неподвижным. Можно синхронизировать стробоскоп так, чтобы рассмотреть вектор v для каждой величины угла. На графике рис. 2.13, а, изображен вектор V для разных углов: ? ₁= ?⁰, ? ₂ и ? ₃. Обозначим его соответственно V₁ V₂ и V₃ На рис. 2.13, б, изображены графики функции для различных значений угла в.

Используем известное соотношение:

Рис. 2.12. Синусоидальное переменное напряжение: а — изменение напряжения во времени; б — векторное представление.

Рис. 2.13. Напряжение трех сигналов: а — векторная диаграмма; 6 — временная диаграмма.

Функцию нашей синусоиды A sin (?t + ?) запишем в соответствии с формулой  (2.17):

или

Таким образом, нашу функцию A sin (?t + ?)) можно представить суммой двух синусоид (sin ?t и cos ?t) с одинаковой частотой и амплитудами (A cos ?) и (A sin ?) соответственно (рис. 2.14, б) и которые имеют сдвиг фазы 90°. Такое представление синусоиды называется прямоугольным. Из него следует, что:

где комплексный оператор j используется для обозначения разницы между двумя составляющими sin ?t и cos ?t при ? = 90°. Таким образом, для решения инженерных задач при фазе 90° можно пользоваться формулой (2.20). Если фаза составляет 180°, то j х j = j². Подробнее см. в справочной литературе.

Запишем формулу (2.20) в математическом виде: r(?) = а + jb, тогда:

Для научных расчетов очень важно иметь возможность простого перехода из одной формы представления сигнала в другую и обратно. Много расчетов делается с помощью комплексных чисел.

Рис. 2.14. Векторное представление синусоидальных колебаний.