ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТОЙ RC-СХЕМЫ

На практике очень важно знать, как ступенчатый сигнал проходит по электронной схеме. Как известно, цифровой сигнал — это серия прямоугольных импульсов положительной и отрицательной полярности. Кроме того, для тестирования электронной схемы легче генерировать прямоугольные импульсы.

Простую RC-схему (рис. 2.27) подключают к генератору ступенчатых сигналов с напряжением V, условно изображенному в виде батареи и переключателя S_1. В положении А переключателя через него проходит положительный сигнал. По закону Кирхгоффа (уравнение (2.31)):

В соответствии с формулами в табл. 2.2 получаем:

Рис. 2.27. Простая RC-схема.

Так как конденсатор при включении переключателя полностью разряжен vc = 0 при t = 0, то решением уравнения (2.62) будет:

Экспонента изменения тока во времени изображена на рис. 2.28, а. Как видно из графика и уравнения (2.63), начальный ток i₀ будет:

В момент включения переключателя (t = 0) напряжение на конденсаторе v_c = 0, тогда V= v_R + 0 = v_R. Другими словами, конденсатор в момент включения представляет из себя короткое замыкание, и все напряжение падает на резистор.

Через длительное время t = ? конденсатор полностью заряжается, ток уменьшается до нуля, а напряжение полностью падает на конденсаторе V= v_c + 0 = v_c :

В общем случае ток определяется сопротивлением резистора и напряжением на нем. Напряжение при включении отличается от напряжения при постоянной подаче напряжения.

Рис. 2.28. Изменение тока и напряжения во времени при зарядке конденсатора RC-схемы: а — тока; б — напряжения.

На конденсаторе оно увеличивается, пока идет зарядка конденсатора i = v / R и v_R = V — v_c. Ток, как скорость потока заряда, и, следовательно, скорость изменения напряжения уменьшается в процессе заряда. Напряжение на конденсаторе увеличивается все медленнее и медленнее, см. графики на рис. 2.28, б.

Напряжение на резисторе всегда пропорционально току, поэтому

А используя уравнение (2.31):

Иногда полезно рассмотреть функционирование аналоговых физических систем. Например, сообщающиеся сосуды с жидкостью можно сравнить с RC-схемой.

На рис. 2.29 изображены две эти аналоговые системы. Допустим, что уровень жидкости в большом сосуде (а следовательно, и давление на дно) остается неизменным. Необходимо наполнить соединенный с ним маленький сосуд. Когда кран открывается, давление в большом сосуде, в маленьком и в трубе, их соединяющей, выравнивается. Происходит процесс, аналогичный уравнению (2.31):

Если маленький сосуд до открытия крана был пуст, то давление в нем равно 0. В момент открытия крана t = 0 давление в трубе р_р = Р и поток f определяется только давлением Р и характеристиками трубы, так же как ток в RC-схеме (см. уравнение (2.64)). Через некоторое время маленький сосуд наполнится, и уровень жидкости (а следовательно, и давление на дно) станет одинаковым с большим сосудом р_с = Р. Давление в трубе и поток в ней равны нулю.

Так же как в электрической схеме, поток в трубе пропорционален разнице давлений в сосудах. Эта разница давлений имеет наибольшую величину при пустом маленьком сосуде и уменьшается по мере его заполнении. Это уменьшение происходит по экспоненте, т. е. на начальном этапе скорость потока наибольшая, затем она равномерно уменьшается, потом поток сильно замедляется.

Изменение напряжения и тока во времени описывается степенной функцией (см. уравнения (2.63)—(2.67)), и формы графика этих изменений — экспонента.

Показатель степенной функции — t / RC является постоянной величиной для этих схем, поэтому ввели коэффициент, который называется постоянной времени (?), единица измерения — секунда:

Рис. 2.29. Иллюстрация взаимодействия компонентов аналоговой схемы с заполнением жидкостью маленькой емкости.

Следует отметить, что сама экспонента имеет относительную единицу измерения. Из уравнения (2.39) получаем:

Уравнения (2.71) и (2.72) графически представлены на рис. 2.30. В самом начале кривых графика функции аппроксимируются прямыми V/?  и — V/? соответственно.

Если в схеме 2.27 S₁ переключить в положение В, происходит отключение генератора напряжения от V до 0. Ток в цепи и изменение напряжения можно определить, используя уравнение (2.31):

получаем:

Для решения этого уравнения предположим, что в начале отключения конденсатор полностью заряжен до V, тогда

Рис. 2.30. Изменение напряжения в RC-схеме с указанием постоянной времени ?.

Рис. 2.31. Изменение тока и напряжения во времени при разряде конденсатора: а — тока; б — напряжения.

На рис. 2.31 показаны графики этих уравнений. Нужно отметить, что полярность тока и напряжения на резисторе противоположны. Начальная и конечная величина тока:

Обратимся опять к сообщающимся сосудам (рис. 2.32). Теперь большой сосуд незаполнен (V = 0), а маленький сосуд заполнен (v_c = V). Если открыть кран, поток в трубке будет таким же, как в предыдущем примере, только поменяет направление.

Рис. 2.32. Аналогия между разрядом конденсатора и сообщающимися сосудами.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ СИГНАЛ В RC-СХЕМЕ.

Прямоугольный импульс (рис. 2.33, а) — наиболее широко применяемый сигнал в современной электронике, так как он является базовым элементом всех цифровых сигналов. Прохождение прямоугольного импульса по цепи можно рассматривать как прохождение положительного фронта и сразу же отрицательного фронта. Все устройства и схемы в электронике накапливают некоторый заряд и, следовательно, обладают некоторой емкостью. Поэтому любую схему можно представить как простейший низкочастотный RC-фильтр (рис. 2.33, б). Физически емкость возникает между проводами, между дорожками на печатной плате, в транзисторах и т. д. Поэтому, как мы знаем из предыдущей главы, прямоугольный импульс искажается по экпоненте при прохождении по любой электронной схеме. На рис. 2.34 показана форма входного и выходного сигналов. Это небольшое искажение выходного сигнала необходимо учитывать для коротких импульсов при расчете его продолжительности.

Рис. 2.33. Прямоугольный импульс в RC-схеме: а — прямоугольный импульс; б — схема низкочастотного RC-фильтра.

Рис. 2.34. Форма входного и выходного импульсов в схеме на рис. 2.33.

Поэтому постоянная времени г схемы влияет на ее быстродействие и быстродействие всего устройства. Например, процессор персонального компьютера, работающий с частотой 1 ГГц, обладает постоянной времени своей схемы 1 нс.

Время нарастания t выходного сигнала определяется как время, необходимое для увеличения выходного сигнала от 10 до 90% максимального значения напряжения (см. рис. 2.34). По уравнению (2.67) определим оба эти значения:

Известно, что продолжительность импульса t_d должна быть в 3 раза больше времени нарастания, чтобы неизбежные искажения не помешали прохождению сигнала по схеме:

ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТОЙ RL-СХЕМЫ

Рассмотрим прохождение ступенчатого сигнала по простой RL-цепи. RL-цепь подключена к генератору ступенчатых сигналов с напряжением V, условно изображенному в виде батареи и переключателя (рис. 2.35). В положении А переключателя через него проходит положительный сигнал. По закону Кирхгоффа (уравнение (2.31))

получаем:

v_R + v_L - V = 0 или V = v_R + v_c .

В соответствии с формулами в табл. 2.2 получаем:

Решение этого дифференциального уравнения:

показывает изменение тока в цепи после включения переключателя по степенному закону (рис. 2.36, а). В момент включения переключателя:

Напряжение на резисторе в момент включения (t = 0) равно нулю. Из уравнения (2.40):

V = 0 + v_L = v_L

Рис. 2.35 Простая RL - схема

Рис. 2.36. Изменение тока и напряжения во времени: а — тока; б — напряжения.

Как известно, ток через катушку индуктивности не может увеличиться мгновенно.

Следовательно, в момент включения все напряжение батареи падает на катушке индуктивности.

Через длительное время (t = ?) напряжение на катушке индуктивности упадет до нуля и все напряжение падает на резисторе. Используя уравнение 2.40, получаем:

причем это изменение происходит по асимптоте.

Изменение напряжения во времени показано на рис. 2.36, б. Напряжение на резисторе всегда пропорционально току, поэтому

Заметим, что такой же результат получается из решения дифференциального уравнения. Таким образом, изменение напряжения и токов во времени описывается степенной функцией (см. уравнения (2.86)—(2.90)). Их графики совпадают с графиками для RC-схем. Отношение L /R — постоянное в этих уравнениях. Оно заменяется символом ?, называется постоянной времени и единица измерения — секунда:

Из уравнения (2.47) предельная частота RL-схем определяется как ? = R/L, тогда ?₀ = 1 / ?. Если изменить положение переключателя в схеме на рис. 2.35 из А на В, то напряжение источника питания упадет с У до 0. Ток по катушке индуктивности, а следовательно, и по всей цепи изменяется медленно, а не мгновенно, благодаря тому что ток в катушке индуктивности создает накопление энергии в магнитном поле. Возникает как бы временный источник высокого напряжения, который вызывает искрение в переключателях и повреждения полупроводниковых ключей.

Ток и изменение напряжения определяются из уравнения (2.40):

Решением этого дифференциального уравнения с учетом того, что ток в момент отключения источника напряжения максимальный, будет:

А в соответствии с уравнением (2.40):

Рис. 2.37. Изменение тока и напряжения во времени: а — тока, б — напряжения.

Графики этих зависимостей изображены на рис. 2.37. Следует отметить, что полярность тока и напряжения противоположные.

Определим конечные значения тока:

Рис. 2.38. Прохождение импульса по RC- и RL-схемам: а — форма импульса; б — низкочастотный фильтр; в — высокочастотный фильтр.

Задание

Четырехтактовых двигатель внутреннего сгорания использует две искры. Генерируются они в процессе разрядки катушки индуктивности через специальный разъем. Это устройство автомобильного двигателя схематично можно представить в виде последовательной цепи из катушки индуктивности в 5 мГн и резистора с сопротивлением 3 Ом. Рассчитайте максимальную скорость двигателя с этой катушкой. Для устойчивой генерации искры накопленная энергия катушки должна быть не менее 90% от максимума. Накопленная энергия вычисляется по формуле Е = 0,5L i2.

Выводы

Переходные характеристики RC- и RL-схем при прохождении через них сигнала с положительным и отрицательным фронтами, показанные на рис. 2.28, б, 2.31, б, 2.36, б, и 2.37, б, можно представить в обобщающем виде (рис. 2.38). Как можно видеть, существуют два типа реакции: для низкочастотного фильтра (как RC, так и RL) и для высокочастотного фильтра (как RC, так и RL).

Зависимость переходных характеристик от частоты см. на рис. 2.18, в, и 2.20, в.