ДЕЦИБЕЛЫ И ГРАФИКИ БОДЕ.

ДЕЦИБЕЛЫ

Во всех областях практического применения электроники, например в телекоммуникациях, сигнал проходит через серию стадий усиления, обработки, передачи и т. д. Для каждой стадии прохождения сигнала необходимо знать входное и выходное напряжение, мощность, коэффициент усиления. На рис. 2.22 изображена каскадная электронная система, которая состоит из усилителя, линии передачи данных и второго усилителя. Коэффициенты усиления на каждом каскаде определяются как:

Рис. 2.22. Каскадная система.

Коэффициент усиления всей системы будет равен произведению коэффициентов на каждом каскаде:

Как известно, с суммой работать значительно легче, чем с произведением. Чтобы общий коэффициент системы привести к сумме коэффициентов на каждом каскаде, необходимо применить функцию логарифма. Из математики известно, что если ху = z, то logx + logy = logz. Коэффициент усиления в логарифмическом виде называется белом. Это понятие ввел Александр Грахам Белл при разработке телефонной связи. В настоящее время более известна модификации бела — децибел (дБ).

По сути, это коэффициент усиления мощности. Следует заметить, что он не измеряется в абсолютных величинах, таких как вольт, ампер и др. В тех случаях, когда требуется обозначить абсолютную величину этого коэффициента, применяется единица мощности. Например, в телекоммуникациях для измерения белов иногда используют 1 дБм (Р2 в уравнении (2.49)) и обозначают дБм.

Так как 1 Б означает усиление мощности в 10 раз, то удобнее пользоваться десятой частью бела децибелом (дБ).

Необходимо отметить, что коэффициент усиления мощности в 1 дБ означает, отношение мощности P/P2 = 10^0,1 = 1,26.

Во многих расчетах необходимо определить величина напряжения. Как мы знаем, Р = V²/ R. Тогда уравнение (2.51) будет:

Так как напряжение на резисторах одинакового номинала, выражение (2.52) упрощается:

Следует отметить, что формула (2.54) на практике используется очень часто, даже если сопротивление резисторов неодинаковое. Еще одно замечание: некоторые делают различие между формулами (2.51) и (2.54), применяя термины «децибелы мощности» и «децибелы напряжения». Это некорректно. Следует применять термин «децибелы».

ГРАФИКИ БОДЕ

Рассмотрим фильтры низких частот (см. главу 2.4.3). Коэффициент усиления напряжения для RC-схемы (формула (2.36)) можно записать так:

Формулу предельной частоты для RC-схемы ?₀ = 1/CR подставим в уравнение (2.36а):

так как отношение частот и отношение угловых частот равны: ?/ ?₀ = 2?f / 2?f₀ =f/f₀ . Коэффициент усиления напряжения для RL-схемы (формула (2.44)) можно записать так:

Формулу предельной частоты для RL-схемы ?₀ = R/L подставим в уравнение (2.44а):

Сравним уравнения (2.55) и (2.56) для двух различных фильтров низкой частоты. Очевидно, что они одинаковые, если привести их к предельной частоте. График зависимости коэффициента усиления напряжения от частоты строится по преобразованной формуле (2.57) (рис. 2.23):

Обе оси координат используют логарифмическую шкалу. Это имеет два преимущества:

1) на небольшом графике можно рассмотреть взаимодействие параметров в очень широком диапазоне;

2) зависимость параметров, выраженная умножением и делением, заменяется сложением и вычитанием, в результате чего график становится прямой линией, а не гиперболой в случае с линейными осями координат.

График, показанный на рис. 2.23 аппроксимирован двумя прямыми линиями, которые называются асимптотами. Искажения параметров (уравнение (2.57)) при этом незначительны, кроме точки f ₀.

Рис. 2.23. График зависимости коэффициента усиления напряжения от частоты (график Боде) для низкочастотного фильтра.

На очень низких частотах f / f₀ « 1 коэффициент усиления напряжения равен 1, на графике это горизонтальная линия. Для любой электронной схемы — постоянная величина. На очень высоких частотах f / f₀ » 1 коэффициент усиления напряжения стремится к бесконечности. Эта зависимость отражена на графике Боде (см. рис. 2.23) наклоном прямой: при увеличении частоты на декаду коэффициент усиления напряжения уменьшается на фактор 10 или —20 дБ. Такое изменение получило название «фактор 10». При увеличении частоты в 2 раза (фактор 2 или октава) коэффициент усиления напряжения уменьшается на 20 log( 1 /2) = — 6,0206 ~ — 6 дБ.

Если ч а с т о т а f / f₀, реальная кривая отличается от прямой линии аппроксимации на 3 дБ. Поэтому предельная частота называется еще трехдецибельной предельной частотой. Вычислим изменение мощности на этой частоте:

Мощность уменьшается в 2 раза, и поэтому предельную частоту еще называют частотой полумощности.

Сдвиг по фазе между входом и выходом можно определить из уравнений (2.55) и (2.56):

? изменяется от 0° на низких частотах до — 90° на высоких частотах. На предельной частоте f / f₀ ? = — 45°. Такие отрицательные значения сдвига по фазе называют задержкой, а фильтры низких частот, содержащие конденсатор или катушку индуктивности, — схемой задержки сигналов. На рис. 2.24 показан график зависимости задержки от частоты для фильтров низких частот. Кривую графика аппроксимируют прямыми линиями, применяя два способа аппроксимации, — на графике пунктирная линия и штрихпунктирная линия. Первая аппроксимация корректна для изменения фазы от 0° до — 45° на частотах от f₀ до 10 f₀ . Вторая аппроксимация — для задержи от —45° до —90°. Принято выделять зону предельной частоты от 0,2 f₀ до 5 f₀, где задержка стремительно увеличивается от —25° до —65°.

Графики Боде можно использовать и для фильтров высоких частот. Преобразуем уравнение (2.34) для RC-фильтра, учитывая, что ?₀ = 1/CR:

Для RL-фильтра высоких частот, используя уравнение (2.46) и ?₀ = R /L , получаем уравнение:

Рис. 2.24. Фазовый график Боде для низкочастотных фильтров.

Оно идентично уравнению (2.59). Это общая формула для всех фильтров высоких частот, так же как уравнение (2.56) — для всех фильтров низких частот. Если уравнения 2.59 переписать в векторной форме:

то из него величина коэффициента усиления:

и сдвиг по фазе:

На очень высоких частотах f / f₀ « 1 коэффициент усиления равен 1. На графике 2.25 это прямая горизонтальная линия. На очень низких частотах f / f₀ » 1 коэффициент усиления ?f. На графике это вторая асимптота с наклоном в 20 дБ на декаду или 6 дБ на октаву, т. е. с таким же наклоном, как и для фильтров низких частот.

Две асимптоты пересекаются в точке f / f₀. Фактический коэффициент усиления на этой частоте

так же как и для фильтров низких частот.

Рис. 2.25. График Боде для высокочастотных фильтров.

Рис. 2.26. Фазовый график Боде для высокочастотных фильтров.

Фаза выходного сигнала всегда опережает фазу входного сигнала (см. 2.61).

Сдвиг фаз изменяется от 90° на низких частотах до 0° на высоких. Зависимость фазового сдвига от частоты представлена на рис. 2.26. Так же как для фильтров низких частот, кривую графика аппроксимируем двумя прямыми линиями.

Преимущества применения графиков Боде:

1) кривые частотной зависимости и коэффициента усиления, и фазового сдвига легко заменяются прямыми линиями;

2) асимптоты достаточно точно отражают эти зависимости, кроме диапазона предельной частоты;

3) чтобы сделать точные расчеты, необходимо знать вид фильтра (низких или высоких частот), предельную частоту и уровень фильтра (схемы или системы). Приведенные графики используются только для фильтров первого уровня. Графики Боде удобно применять для проверки характеристик каскадных схем, у которых несколько фильтров высоких или низких частот с компонентами различных номиналов, например, для проверки схемы частотной компенсации операционного усилителя, которая предназначена для стабилизации его функционирования.

Задание 2.6

К операционному усилителю подключены два каскада RC-схем как единый ;буфер (см. схему ниже). Постройте графики Боде для этой схемы.